如圖,四邊形ABCD內接於⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足為E,點F在BD的延長線上,且DF=DC,連接AF...
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問題詳情:
如圖,四邊形ABCD內接於⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足為E,點F在BD的延長線上,且DF=DC,連接AF、CF.
(1)求*:∠BAC=2∠DAC;
(2)若AF=10,BC=4,求tan∠BAD的值.
【回答】
(1)見解析;(2) tan∠BAD=.
【解析】
(1)根據等腰三角形的*質得出∠ABC=∠ACB,根據圓心角、弧、弦的關係得到=,即可得到∠ABC=∠ADB,根據三角形內角和定理得到∠ABC=(180°−∠BAC)=90°−∠BAC,∠ADB=90°−∠CAD,從而得到∠BAC=∠CAD,即可*得結論;
(2)易*得BC=CF=4,即可*得AC垂直平分BF,*得AB=AF=10,根據勾股定理求得AE、CE、BE,根據相交弦定理求得DE,即可求得BD,然後根據三角形面積公式求得DH,進而求得AH,解直角三角形求得tan∠BAD的值.
【詳解】
解:(1)∵AB=AC,
∴=,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ADB,∠ABC=(180°−∠BAC)=90°−∠BAC,
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=90°−∠DAC,
∴∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=2∠DAC;
(2)∵DF=DC,
∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC,
∴CB=CF,
又BD⊥AC,
∴AC是線段BF的中垂線,AB= AF=10, AC=10.
又BC=4,
設AE=x, CE=10-x,
AB2-AE2=BC2-CE2, 100-x2=80-(10-x)2, x=6
∴AE=6,BE=8,CE=4,
∴DE===3,
∴BD=BE+DE=3+8=11,
作DH⊥AB,垂足為H,
∵AB•DH=BD•AE,
∴DH=,
∴BH=,
∴AH=AB−BH=10−,
∴tan∠BAD===.
【點睛】
本題屬於圓綜合題,考查了圓周角定理,勾股定理,鋭角三角函數,圓心角、弧、弦的關係,相交弦定理,等腰三角形的判定和*質等知識,解題的關鍵是熟練掌握並靈活運用*質定理,屬於中考壓軸題.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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