如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交於A，B兩...

問題詳情：

如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交於A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

【回答】

(Ⅰ)；(Ⅱ)．

【解析】

試題分析：（1）由題意得到離心率，再結合距離公式即可得：，所求橢圓的方程為：.（2）易得直線的方程：，用點差法得到設直線的方程為：，與橢圓方程聯立得，由得到的取值範圍；由弦長公式，點到直線的距離表示出面積，即可求出直線的方程．

試題解析：（1）由題：； 

左焦點到點的距離為：.‚

由‚可解得：.

所求橢圓的方程為：.

（2）易得直線的方程：，設.其中.

、在橢圓上，

設直線的方程為：，

代入橢圓：.

顯然.

且.

點到直線的距離為：.

若且唯若時，三角形的面積最大，此時直線的方程.

考點：1、橢圓的*質；2、中點弦問題；3、最值問題．

【技巧點晴】本題考查是橢圓的定義和*質、直線與圓錐曲線的位置關係、最值等綜合知識，屬於難題；圓錐曲線中有關三角形面積問題，解決方法一般有兩種：第一種是利用公式求出弦長，表示出點到弦長所在直線的距離，用求面積；第二種是以軸（或者軸）為界，把三角形分成兩部分，利用其中為三角形被軸（或者軸）解得的線段長度．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題