如圖，已知F1、F2是橢圓G：的左、右焦點，直線l：y=k（x+1）經過左焦點F1，且與橢圓G交於A、B兩點，...

問題詳情：

如圖，已知F1、F2是橢圓G：的左、右焦點，直線l：y=k（x+1）經過左焦點F1，且與橢圓G交於A、B兩點，△ABF2的周長為． （Ⅰ）求橢圓G的標準方程； （Ⅱ）是否存在直線l，使得△ABF2為等腰直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）設橢圓G的半焦距為c，因為直線l與x軸的交點為（-1，0），故c=1． 又△ABF2的周長為，即，故a=． 所以，b2=a2-c2=3-1=2． 因此，橢圓G的標準方程為； 注：本小題也可以用焦點和離心率作為條件，即將周長換離心率． （Ⅱ）不存在．理由如下：先用反*法*AB不可能為底邊，即|AF2|≠|BF2|． 由題意知F2（1，0），設A（x1，y1），B（x2，y2），假設|AF2|=|BF2|， 則， 又，，代入上式，消去，得：（x1-x2）（x1+x2-6）=0． 因為直線l斜率存在，所以直線l不垂直於x軸，所以x1≠x2，故x1+x2=6（與x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾）． 聯立方程，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0， 所以=6，矛盾． 故|AF2|≠|BF2|． 再*AB不可能為等腰直角三角形的直角腰． 假設△ABF2為等腰直角三角形，不妨設A為直角頂點． 設|AF1|=m，則， 在△AF1F2中，由勾股定理得：，此方程無解． 故不存在這樣的等腰直角三角形． 注：本題也可改為是否存在直角三角形？會簡單一些．改為是否存在等腰三角形則不易計算，也可修改橢圓方程使存在等腰直角三角形．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題