已知橢圓的左、右焦點分別為、，圓經過橢圓的兩個焦點和兩個頂點，點在橢圓上，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程和點的座標；...

問題詳情：

已知橢圓的左、右焦點分別為、，圓經過橢圓的兩個焦點和兩個頂點，點在橢圓上，且，.

（Ⅰ）求橢圓的方程和點的座標；

（Ⅱ）過點的直線與圓相交於、兩點，過點與垂直的直線與橢圓相交於另一點，求的面積的取值範圍.

【回答】

【解析】

分析：（I）由題意計算可得， ， 則橢圓的方程為， 結合幾何*質可得點P的座標為.

（II）由題意可知直線l2的斜率存在，設l2的方程為，與橢圓方程聯立可得， 由弦長公式可得； 結合幾何關係和勾股定理可得， 則面積函數， 換元求解函數的值域可得△ABC的面積的取值範圍是．

詳解：（I）設，，

可知圓經過橢圓焦點和上下頂點，得，

由題意知，得，

由，得，

所以橢圓的方程為，

點P的座標為.

（II）由過點P的直線l2與橢圓相交於兩點，知直線l2的斜率存在，

設l2的方程為，由題意可知，

聯立橢圓方程，得，

設，則，得，

所以；

由直線l1與l2垂直，可設l1的方程為，即

圓心到l1的距離，又圓的半徑，

所以，

，

由即，得，

 ，

設，則，，

若且唯若即時，取“＝”，

所以△ABC的面積的取值範圍是．

點睛：(1)直線與拋物線的位置關係和直線與橢圓、雙曲線的位置關係類似，一般要用到根與係數的關係；

(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題