在平面直角座標系xOy中，已知分別為橢圓（）的左、右焦點，且橢圓經過點和點，其中為橢圓的離心率．（1）求橢圓的...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，已知分別為橢圓（）的左、右

焦點，且橢圓經過點和點，其中為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓於另一點，點在直線上，且．

若，求直線的斜率．

【回答】

解：（1）因為橢圓經過點和點，

所以                                              …… 2分

解得， 所以橢圓的方程為．      …… 6分

（2）解法一：由（1）可得，

設直線的斜率為，則直線的方程為．

由方程組 消去，整理得，

解得或，所以點座標為．      …… 8分

由知，點在的中垂線上，

又在直線上，所以點座標為．                       …… 10分

所以，．

若，則．     …… 14分

解得，所以，即直線的斜率．          …… 16分

解法二：由（1）可得，

設（），則  ①，                   …… 8分

直線，          

由知，點在的中垂線上，

又在直線上，所以點座標為．                   …… 10分

所以，，

若，則，

所以  ②，                                …… 12分

由①②可得，即，

所以或(舍)，．

所以，即直線的斜率．               …… 16分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題