直角三角形有一個非常重要的*質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，比如：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90...

問題詳情：

直角三角形有一個非常重要的*質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，比如：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB中點，則CD=AD=BD=AB．請你利用該定理和以前學過的知識解決下列問題：

如圖2，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側，BM⊥直線a於點M，CN⊥直線a於點N，連接PM、PN；

（1）求*：PM=PN；

（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予*：若不成立，請説明理由；

（3）如圖4，∠BAC=90°，a旋轉到與BC垂直的位置，E為BC上一點且AE=AC，EN⊥a於N，連接EC，取EC中點P，連接PM，PN，求*：PM⊥PN．

【回答】

【考點】幾何變換綜合題．

【分析】（1）如圖2中，延長NP交BM的延長線於G．只要*△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根據直角三角形斜邊中線定理即可*．

（2）結論：PM=PN．延長NP交BM於G，*方法類似（1）．

（3）如圖4中，延長NP交BM於G．先*△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再*△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因為AN=CM，所以MG=MN，即可*PM⊥PN．

【解答】（1）*：如圖2中，延長NP交BM的延長線於G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BG∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中，

，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（2）解：結論：PM=PN．

如圖3中，延長NP交BM於G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BM∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中，

，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（3）如圖4中，延長NP交BM於G．

∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠EAN=∠ACM，

在△EAN和△CAM中，

，

∴△EAN≌△CAM，

∴EN=AM，AN=CM，

∵EN∥CG，

∴∠ENP=∠CGP，

在△ENP和△CGP中，

，

∴△ENP≌△CGP，

∴EN=CG=AM，PN=PG，

∵AN=CM，

∴MG=MN，

∴PM⊥PN．

【點評】本題考查幾何變換綜合題、直角三角形斜邊中線*質、全等三角形的判定和*質、平行線的*質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：三角形全等的判定

題型：綜合題