如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)的上，下兩個頂點為A，B，直線l：y＝－2，點P是橢圓上異於點A，B的任意一點，連...

問題詳情：

如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)的上，下兩個頂點為A，B，直線l：y＝－2，點P是橢圓上異於點A，B的任意一點，連接AP並延長交直線l於點N，連接PB並延長交直線l於點M，設AP所在的直線的斜率為k1，BP所在的直線的斜率為k2.若橢圓的離心率為，且過點A(0,1)．

(1)求k1·k2的值；

(2)求MN的最小值；

(3)隨着點P的變化，以MN為直徑的圓是否恆過定點？若過定點，求出該定點；如不過定點，請説明理由．

【回答】

解　(1)因為e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以橢圓C的標準方程為＝1.(2分)

設橢圓上點P(x0，y0)，有＝1，

所以k1·k2＝ (2)因為M，N在直線l：y＝－2上，設M(x1，－2)，N(x2，－2)，

由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，

所以KBM·kAN＝ (6分)

又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，(8分)

不妨設x1＜0，則x2＞0，則

MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋＝4，

所以若且唯若x2＝－x1＝2時，MN取得最小值4.(10分)

(3)設M(x1，－2)，N(x2，－2)，

則以MN為直徑的圓的方程為

(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)

即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圓過定點，

則有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，

所以，無論點P如何變化，以MN為直徑的圓恆過定點(0，－2±2)．(16分)

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題