如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於A(,0),B兩點(點B在點A的左側),與y軸交於點C,且OB=3O...
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問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於A(,0),B兩點(點B在點A的左側),與y軸交於點C,且OB=3OA=OC,∠OAC的平分線AD交y軸於點D,過點A且垂直於AD的直線l交y軸於點E,點P是x軸下方拋物線上的一個動點,過點P作PF⊥x軸,垂足為F,交直線AD於點H.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設點P的橫座標為m,當FH=HP時,求m的值;
(3)當直線PF為拋物線的對稱軸時,以點H為圓心,HC為半徑作⊙H,點Q為⊙H上的一個動點,求AQ+EQ的最小值.
【回答】
解:(1)由題意A(,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3),
設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣),
把C(0,﹣3)代入得到a=,
∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3.
(2)在Rt△AOC中,tan∠OAC==,
∴∠OAC=60°,
∵AD平分∠OAC,
∴∠OAD=30°,
∴OD=OA•tan30°=1,
∴D(0,﹣1),
∴直線AD的解析式為y=x﹣1,
由題意P(m,m2+m﹣3),H(m,m﹣1),F(m,0),
∵FH=PH,
∴1﹣m=m﹣1﹣(m2+m﹣3)
解得m=﹣或(捨棄),
∴當FH=HP時,m的值為﹣.
(3)如圖,∵PF是對稱軸,
∴F(﹣,0),H(﹣,﹣2),
∵AH⊥AE,
∴∠EAO=60°,
∴EO=OA=3,
∴E(0,3),
∵C(0,﹣3),
∴HC==2,AH=2FH=4,
∴QH=CH=1,
在HA上取一點K,使得HK=,此時K(﹣,﹣),
∵HQ2=1,HK•HA=1,
∴HQ2=HK•HA,可得△QHK∽△AHQ,
∴==,
∴KQ=AQ,
∴AQ+QE=KQ+EQ,
∴當E、Q、K共線時,AQ+QE的值最小,最小值==.
知識點:各地會考
題型:解答題
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