已知函式．（1）求函式的單調區間；（2）當時，*：對任意的,．

問題詳情：

已知函式．

（1）求函式的單調區間；

（2）當時，*：對任意的,．

【回答】

（1）函式在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．（2）見解析

【解析】解：（1）由題意知，函式f（x）的定義域為（0，+∞），

由已知得．.............1分

當a≤0時，f'（x）＞0，函式f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以函式f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）． 當a＞0時，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，

所以函式f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

綜上，當a≤0時，函式f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；

當a＞0時，函式f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為． ...5分

（2）*：當a=1時，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可變為ex﹣lnx﹣2＞0，

令h（x）=ex﹣lnx﹣2，則，可知函式h'（x）在（0，+∞）單調遞增，. 而，. 所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實根x0，即．..............................9分

當x∈（0，x0）時，h'（x）＜0，函式h（x）單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，h'（x）＞0，函式h（x）單調遞增；   所以．

即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恆成立，

所以對任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．

知識點：基本初等函式I

題型：解答題