如圖，已知二次函式y=ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x=1，與y軸的交點為c（0，4），y的最...

問題詳情：

如圖，已知二次函式y=ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x=1，與y軸的交點為c（0，4），y的最大值為5，頂點為M，過點D（0，1）且平行於x軸的直線與拋物線交於點A，B．

（Ⅰ）求該二次函式的解析式和點A、B的座標；

（Ⅱ）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構成的三角形與△BCD相似，求出所有點P的座標．

【回答】

【考點】HF：二次函式綜合題．

【分析】（Ⅰ）先確定頂點M的座標，再設頂點式y=a（x﹣1）2+5，然後把C點座標代入求出a即可得到拋物線解析式；在計算函式值為1所對應的自變數的值即可得到A、B點的座標；

（Ⅱ）先計算出CD=3，BD=1，AM=2，CM=，AC=3，則利用勾股定理的逆定理得到△ACM為直角三角形，∠ACM=90°，則可判斷△ACM∽△CDB，由此可判斷P點座標為（0，3），如圖1；接著求出直線AM的解析式為y=﹣2x+7，直線AC的解析式為y=﹣x+4，作PM⊥AC於P，如圖2，易得Rt△AMP∽Rt△CDB，然後利用兩直線垂直的關係可求出直線PM的解析式為y=x+，從而可確定P點座標為（﹣，），

【解答】解：（Ⅰ）根據題意得拋物線的頂點M的座標為（1，5），

設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+5，

把C（0，4）代入y=a（x﹣1）2+5得a+5=4，解得a=﹣1，

所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+5，即y=﹣x2+2x+4；

當y=1時，﹣x2+2x+4=1，解得x1=﹣1，x2=3，則B（﹣1，1），A（3，1）；

（Ⅱ）CD=3，BD=1，AM==2，CM==，AC==3，

∵CM2+AC2=AM2，

∴△ACM為直角三角形，∠ACM=90°，

∵=， ==，

∴=，

而∠ACM=∠CDB，

∴△ACM∽△CDB，

∴點P在C點時，滿足條件，此時P點座標為（0，3），如圖1；

作PM⊥AC於P，如圖2，

∵△ACM∽△CDB，

∴∠MAC=∠DCB，

作PM⊥AC於P，如圖2，

∴Rt△AMP∽Rt△CDB，

設直線AM的解析式為y=kx+b，

把M（1，5），A（3，1）代入得，解得，

直線AM的解析式為y=﹣2x+7，

同樣可得直線AC的解析式為y=﹣x+4，

作PM⊥AC於P，如圖1，設直線PM的解析式為y=x+p，

把M（1，5）代入得+p=5，解得p=，

∴直線PM的解析式為y=x+，

解方程組得，

∴P點座標為（﹣，），

綜上所述，滿足條件的P點座標為（0，3）或（﹣，）

【點評】本題考查了二次函式的綜合題：熟練掌握二次函式的*質和相似三角形的判定；會利用待定係數法求一次函式和二次函式的解析式；理解座標與圖形*質，記住兩點間的距離公式．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題