已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线...

问题详情：

已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【回答】

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（，）；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，

∴C（0，6），

∴OC＝6，

∵A（6，0），

∴OA＝6，

∴OA＝OC，

∴∠OAC＝45°，

∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，

∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，

∴∠PED＝45°，

∴∠PDE＝∠PED，

∴PD＝PE，

∴PD+PE＝2PE，

∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，

∵A（6，0），C（0，6），

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），

∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，

当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，

∴P（3，12）；

（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，

∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，

∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，

∵l∥y轴，

∴∠MFC＝∠OCA＝45°，

∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，

∴NF∥x轴，

由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

当x＝时，y＝，

∴F（，），

∴点N的纵坐标为，

设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），

∴﹣m2+5m+6＝，解得，m＝或m＝，

∴点N的坐标为（，）或（，）．

【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；

（2）先求出OA＝OC＝6，进而得出∠OAC＝45°，进而判断出PD＝PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，即可得出结论；

（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．

知识点：各地中考

题型：综合题