如图，抛物线与x轴交于点A（﹣,0）、点B（2,0），与y轴交于点C（0,1），连接BC．（1）求抛物线的函数...

问题详情：

如图，抛物线与x轴交于点A（﹣,0）、点B（2,0），与y轴交于点C（0,1），连接BC．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；

（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．

【回答】

解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：

解得：a=-1.5,b=2.5,c=1，∴抛物线的函数关系式为y=﹣1.5x2+2.5x+1；

（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，∴NP==yN=﹣1.5x2+2.5x+1，

∴S=AB•PN=×（2+）×（﹣1.5x2+2.5x+1）=（﹣1.5x2+2.5x+1）=﹣t2+t+；

（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴PN=2PO．

①当﹣＜t＜0时，PN==yN=﹣1.5x2+2.5x+1，PO=﹣t，∴﹣1.5x2+2.5x+1=﹣2t，

整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=，t2=．

∵＞0，﹣＜＜0，

∴t=，此时点N的坐标为（，）；

②当0＜t＜2时，PN==yN=﹣1.5x2+2.5x+1，PO=t，∴﹣1.5x2+2.5x+1=2t，

整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t3=﹣，t4=1．

∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．

综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．

知识点：相似三角形

题型：解答题