已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,-)和(m-b,m2-mb...
- 习题库
- 关注:9.52K次
问题详情:
已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,-)和(m-b, m2-mb+n),其中 a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0. (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)求*:抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点; (Ⅲ)当-1≤x≤1时,设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.
【回答】
解:(Ⅰ)把点(0,-)代入抛物线,得:c=-; (Ⅱ)把点(0,-)代入直线得:n=-. 把点(m-b,m2-mb+n)代入抛物线,得: a(m-b)2+b(m-b)+c=m2-mb+n ∵c=n=-, ∴a(m-b)2+b(m-b)=m2-mb, am2-2abm+ab2+bm-b2-m2+mb=0, (a-1)m2-(a-1)•2bm+(a-1)b2=0, (a-1)(m2-2bm+b2)=0, (a-1)(m-b)2=0, 若m-b=0,则(m-b,m2-mb+n)与(0,-)重合,与题意不合,
∴a=1, ∵抛物线y=ax2+bx+c=x2+bx-,b2-4ac=b2-4×
(-)=b2+2>0,
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点; (Ⅲ)y=x2+bx-,顶点(-,--),
设抛物线y=x2+bx-在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h, ①当-<-1时,即b>2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),
∴|H|=y0=+b>, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(-1,y0), ∴|h|=|y0|=|-b|=b->, ∴|H|>|h|, ∴这时|y0|的最小值大于, ②当-1≤-≤0时,即0≤b≤2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0), ∴|H|=y0=+b≥,当b=0时等号成立, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(-,--), ∴|h|=|--|=≥, 当b=0时等号成立, ∴这时|y0|的最小值等于, ③当0<-≤1,即-2≤b<0时, 在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,y0), ∴|H|=y0=|1+(-1)b-|=|-b|=-b>, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(-,--), ∴|h|=|y0|=|--|=>, ∴这时|y0|的最小值大于; ④当1<-时,即b<-2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,y0), ∴|H|=-b>, 在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0), ∴|h|=|+b|=-(b+)>, ∴|H|>|h|, ∴这时|y0|的最小值大于, 综上所述:当b=0,x0=0时,这时|y0|取最小值为.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
- 文章版权属于文章作者所有,转载请注明 https://zhongwengu.com/exercises/3qy0pp.html