如图(1)，将边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的底面为正...

问题详情：

如图(1)，将边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的底面为正三角形的铁皮箱，如图(2)所示，当箱底边长为多少时，箱子容积最大?最大容积是多少?

图(1)　             　　图(2)

(变式)

【回答】

【解答】设箱底边长为x，

则箱高为h=×(0<x<a)，

箱子的容积为V(x)=x2×sin 60°×h=ax2-x3(0<x<a).

由V'(x)=ax-x2=0，解得x1=0(舍去)，x2=a，且当x∈时，V'(x)>0，函数V(x)单调递增；

当x∈时，V'(x)<0，函数单调递减，

所以函数V(x)在x=a处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值：

V=a×-×=a3.

答：当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.

知识点：空间几何体

题型：解答题