如图，在边长为2（单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正...

问题详情：

如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．

（1）求正四棱锥的体积V(x)；

（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？

【回答】

解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则

由于切去的是等腰三角形，所以AN＝，NO＝1－x，……………2分

在直角三角形AON中，AO＝＝＝，

………………………………4分

所以V(x)＝··2·＝(1－x)2，（0＜x＜1)．  …………………7分

（不写0＜x＜1扣1分）      

（2）V ′(x)＝＝(x－1)，   ……………10分

令V ′(x)＝0，得x＝1(舍去)，x＝．

当x∈(0， )时，V ′(x)＞0，所以V(x)为增函数；

当x∈(，1)时，V ′(x)＜0，所以V(x)为减函数．

所以函数V(x)在x＝时取得极大值，此时为V(x)最大值．……………14分

答：当x为m时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值．     ……………15分

知识点：空间几何体

题型：解答题