定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C1图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C2的图象与C1...

问题详情：

定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C1图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C2的图象与C1关于l成轴对称，则称C2是C1关于点M的伴随函数．如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C1的函数表达式是y＝﹣2x2+2，点M是二次函数C1图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数C2是C1关于点M的伴随函数．

（1）若m＝1，

①求C2的函数表达式．

②点P（a，b1），Q（a+1，b2）在二次函数C2的图象上，若b1≥b2，a的取值范围为     ．

（2）过点M作MN∥x轴，

①如果MN＝4，线段MN与C2的图象交于点P，且MP：PN＝1：3，求m的值．

②如图3，二次函数C2的图象在MN上方的部分记为G1，剩余的部分沿MN翻折得到G2，由G1和G2所组成的图象记为G．以A（1，0）、B（3，0）为顶点在x轴上方作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．

【回答】

解：（1）①当m＝1时，抛物线C2与抛物线C1关于直线x＝1对称

∴抛物线C2的顶点时（2，2）

∴抛物线C2的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+2＝﹣2x2+8x﹣6

②∵点P（a，b1），Q（a+1，b2）在二次函数C2的图象上

∴b2﹣b1＝﹣2（a+1）2+8（a+1）﹣6﹣（﹣2a2+8a﹣6）＝﹣4a+6

当b1≥b2时

﹣4a+6≤0

∴a≥

故*为：a≥

（2）①∵MN∥x轴，MP：PN＝1：3

∴MP＝1

当m＞0时，2m＝1

m＝

当m＜0时，﹣2m＝1

m＝﹣

②分析图象可知：当m＝时，可知C1和G的对称轴关于直线x＝对称，C2的顶点恰在AD上，此时G与正方形恰由2个交点．

当m＝1时，直线MN与x轴重合，G与正方形恰由三个顶点．

当m＝2时，G过点B（3，0）且G对称轴左侧部分与正方形有两个交点

当m＝2或＜m≤1时，G与正方形ABCD有三个公共点．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题