设x，y∈R，求*|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

问题详情：

设x，y∈R，求*|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

【回答】

*　①充分*：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，

则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．

当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，

又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，

∴等式成立．

当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．

总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．

②必要*：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，

∴|xy|＝xy，∴xy≥0.

综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．

知识点：常用逻辑用语

题型：解答题