如图，在四棱锥P-ABCD中，AB丄平面PAD,PD=AD,E为PB的中点，向量，点H在AD上，且(I)：E...

问题详情：

  如图，在四棱锥P-ABCD中，AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点，向量，点H在AD上，且

(I)：EF//平面PAD.

 (II)若PH＝，AD=2, AB=2, CD=2AB,

(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.

（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.

【回答】

（Ⅰ） 取PA的中点Q，连结EQ、DQ，

则E是PB的中点，

,四边形EQDF为平行四边形，

，，

………………………………(3分)

（Ⅱ）⑴解法一：*: ,   PH⊥AD, 

又 AB⊥平面PAD，平面PAD,AB⊥PH,

又 PHAD=H, PH⊥平面ABCD; ---------------------------------(4分)

连结AE 

又且

  ………………………………(5分)

由（Ⅰ）知    

………………………………(6分)

,  又 

在   

 又

………………………………(8分)

(2)延长DA，CB交于点M，连接PM，则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线。…9分

因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点，所以DM=4，

在中：，

 ,……………(10分)

又因为，所以，即为所求的二面角的平面角………(11分)

所以在中：…………………………(12分)

解法二：（向量法）（1）由（Ⅰ）可得  又

在平面ABCD内过点,以H为原点，以正方向建立空间直角坐标系

  设平面PAB的一个法向量为

  ，

      得y=0  令 得x=3

………………………………6分

设直线AF与平面PAB所成的角为

则

………………………………（8分 ）

(2) 显然向量为平面PAD的一个法向量，且

设平面PBC的一个法向量为，

,， 由得到

由得到，令，则，所以， ---10

，所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为………………………（12分 ）

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题