如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,外的地方种草,的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花...
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问题详情:
如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,外的地方种草,的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若,,设的面积为,正方形PQRS的面积为.
(1)用a,表示和;
(2)当a为定值,变化时,求的最小值,及此时的值.
【回答】
(1);(2)当时,的值最小,最小值为
【解析】
(1)利用已知条件,根据锐角三角形中正余弦的利用,即可表示出和;
(2)根据题意,将表示为的函数,利用倍角公式对函数进行转化,利用换元法,借助对勾函数的单调*,从而求得最小值.
【详解】(1)在中,,
所以;
设正方形的边长为x,则,,
由,得,
解得;
所以;
(2)
,
令,因为,
所以,则,
所以;
设,
根据对勾函数的单调*可知,在上单调递减,
因此当时,有最小值,
此时,解得;
所以当时,的值最小,最小值为.
【点睛】本题考查倍角公式的使用,三角函数在锐角三角形中的应用,以及利用对勾函数的单调*求函数的最值,涉及换元法,属综合*中档题.
知识点:三角恒等变换
题型:解答题
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