如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内...

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如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（Ⅰ）*：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

【回答】

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.

【解析】

试题分析：*AB⊥PG由PA=PB可得G是AB的中点.（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2,PE= 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2四面体PDEF的体积V=

试题解析：（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD

因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE

所以AB⊥平PED，故AB⊥PG

又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点.

（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.

理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF//PB,所以EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.

连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.

由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG

由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE//PC，因此PE=PG,DE=PC

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2,PE=

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2

所以四面体PDEF的体积V=

【考点】线面位置关系及几何体体积的计算

【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的*及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的*主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论*的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.

知识点：空间几何体

题型：解答题