如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1，E是⊙C上的...

问题详情：

如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（　　）

A．2+    B．3+    C．3+    D．4+

【回答】

A【考点】圆的综合题．

【分析】先判断出点E的位置，点E在过点C垂直于AC的直线和圆C在点C下方的交点，然后求出直线AB解析式，进而得出CD解析式，即可得出点D坐标，再求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值，

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵A（﹣2，0），B（0，1），

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y=x+1①，

∵CD⊥AB，C（0，﹣1），

∴直线CD的解析式为y=﹣2x﹣1②，

联立①②得，D（﹣，），

∵C（0，﹣1），

∴CD==，

∵⊙C的半径为1，

∴DE=CD+CE=+1，

∵A（﹣2，0），B（0，1），

∴AB=，

∴S△ABE面积的最大值=AB•DE=（+1）×=2+，

故选A．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的*质，待定系数法，求两条直线的交点的方法，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点E的位置，是一道中等难度的试题．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：选择题