图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O逆...

问题详情：

图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO

 

＝3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A、B、C．

（1）   求抛物线的解析式；

（2）   若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与△COD 相似时点 P 的坐标．

【回答】

解：（1）在 Rt△AOB 中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，

∴OB＝3OA＝3

∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．

∴A，B，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为

，

抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3，

∴对称轴为 l＝﹣   ＝﹣1，

∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，

①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，

此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；

②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点，△EFC∽△EMP，

∴ ＝ ＝ ＝

∴MP＝3ME，

∵点 P 的横坐标为 t，

∴P（t，﹣t2﹣2t+3），

∵P 在第二象限，

∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，

∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），

解得 t1＝﹣2，t2＝3，（与 P 在二象限，横坐标小于 0 矛盾，舍去），当 t＝﹣2 时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3

∴P（﹣2，3），

知识点：相似三角形

题型：解答题