已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C...
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已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),BC=AC
(1)求过点A,B的直线的函数表达式;
(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.
【回答】
(1)y=x+;(2)D点位置见解析,D(,0);(3)符合要求的m的值为或.
【分析】
(1)先根据A(−3,1),C(1,0),求出AC进而得出BC=3求出B点坐标,利用待定系数法求出直线AB的解析式即可;
(2)运用相似三角形的*质就可求出点D的坐标;
(3)由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等,只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论,然后运用相似三角形的*质建立关于m的方程,就可解决问题.
【详解】
解:(1)∵A(﹣3,0),C(1,0),
∴AC=4,
∵BC=AC,
∴BC=×4=3,
∴B(1,3),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,
∴,
∴直线AB的解析式为y=x+;
(2)若△ADB与△ABC相似,过点B作BD⊥AB交x轴于D,
∴∠ABD=∠ACB=90°,如图1,
此时=,即AB2=AC•AD.
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5,
∴25=4AD,
∴AD=,
∴OD=AD﹣AO=﹣3=,
∴点D的坐标为(,0);
(3)∵AP=DQ=m,
∴AQ=AD﹣QD=﹣m.
Ⅰ、若△APQ∽△ABD,如图2,
则有=,
∴AP•AD=AB•AQ,
∴m=5(﹣m),
解得m=;
Ⅱ、若△APQ∽△ADB,如图3,
则有=,
∴AP•AB=AD•AQ,
∴5m=(﹣m),
解得:m=,
综上所述:符合要求的m的值为或.
【点睛】
此题是相似形综合题,主要考查了是待定系数法,相似三角形的判定与*质、勾股定理等知识,也考查了分类讨论的数学思想,属于中档题,解本题的关键是根据相似建立方程求解.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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