函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是( )A.当a=1时,f(x)在(0,...
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函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是( )
A.当a=1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0
B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且-1<f(x0)<0
C.对任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点
D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点
【回答】
ABD
【解析】
【分析】
逐一验*选项,选项A,通过切点求切线,再通过点斜式写出切线方程,选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围,选项C、D,通过构造函数,将零点问题转化判断函数与直线y=a 的交点问题.
【详解】
选项A,当时,,,
所以,故切点为,,
所以切线斜率,
故直线方程为:,即切线方程为:, 选项A正确.
选项B,当时,,,
恒成立,所以单调递增,
又,
,所以,即,所以
所以存在,使得,即
则在上,,在上,,
所以在上,单调递减,在上,单调递增.
所以存在唯一的极小值点.
,则,,所以B正确.
对于选项C、D,,
令,即 ,所以, 则令,
,令,得
由函数的图像*质可知:
时,,单调递减.
时,,单调递增.
所以时,取得极小值,
即当时取得极小值,
又,即
又因为在上单调递减,所以
所以时,取得极小值,
即当时取得极大值,
又,即
所以
当时,
所以当,即时,f(x)在(-π,+∞)上无零点,所以C不正确.
当,即时,与的图象只有一个交点
即存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点,故D正确.
故选:ABD 【点睛】
本题考查函数的切线、极值、零点问题,含参数问题的处理,考查数学运算,逻辑推理等学科素养的体现,属于难题题.
知识点:导数及其应用
题型:选择题
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