（1）观察与归纳：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线l与y轴平行，点A与点B是直线l上的两点（点A在点B的上...

问题详情：

（1）观察与归纳：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线l与y轴平行，点A与点B是直线l上的两点（点A在点B的上方）．

①小明发现：若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，﹣4），则AB的长度为　7　；

②小明经过多次取l上的两点后，他归纳出这样的结论：若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为　m﹣n　；

（2）如图2，正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+6交于点A，点B是y=﹣x+6图象与x轴的交点，点C在第四象限，且OC=5．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点0、B重合），过点P与y轴平行的直线l交线段AB于点Q，交*线OC于R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知当t=4时，直线l恰好经过点C．

①求点A的坐标；

②求OC所在直线的关系式；

③求m关于t的函数关系式．

【回答】

【分析】（1）直线AB与y轴平行，A（x1，y1），B（x2，y2），A、B两点横坐标相等，再根据AB的长度为|y1﹣y2|即可求得，

（2）①联立方程，解方程得出A点的坐标；

②根据勾股定理求得C点坐标，然后根据待定系数法即可求得OC所在直线的关系式；

③分两种情况分别讨论求出即可．

【解答】解：（1）①若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，﹣4），则AB的长度为3﹣（﹣4）=7；

②若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为m﹣n；

故*为7；m﹣n；

（2）①解得，

∴A（3，3）；

②∵直线l平行于y轴且当t=4时，直线l恰好过点C，如图2，作CE⊥OB于E，

∴OE=4，

在Rt△OCE中，OC=5，

由勾股定理得：

CE==3，

∴点C的坐标为：（4，﹣3）；

设OC所在直线的关系式为y=kx，则﹣3=4k，

∴k=﹣，

∴OC所在直线的关系式为y=﹣x；

③由直线y=﹣x+6可知B（6，0），

作AD⊥OB于D，

∵A（3，3），

∴OD=BD=AD=3，

∴∠AOB=45°，OA=AB，

∴∠OAB=90°，∠ABO=45°

当0＜t≤3时，如图2，

∵直线l平行于y轴，

∴∠OPQ=90°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=QP，

∵点P的横坐标为t，

∴OP=QP=t，

在Rt△OCE中，

∵tan∠EOC=|k|=，

∴tan∠POR==，

∴PR=OPtan∠POR=t，

∴QR=QP+PR=t+t=t，

∴m关于t的函数关系式为：m=t；

当3＜t＜6时，如图3，

∵∠BPQ=90°，∠ABO=45°，

∴∠BQP=∠PBQ=45°，

∴BP=QP，

∵点P的横坐标为t，

∴PB=QP=6﹣t，

∵PR∥CE，

∴△BPR∽△BEC，

∴=，

∴=，

解得：PR=9﹣t，

∴QR=QP+PR=6﹣t+9﹣t=15﹣t，

∴m关于t的函数关系式为：m=15﹣t；

综上，m关于t的函数关系式为m=．

【点评】此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与*质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．

知识点：相似三角形

题型：综合题