已知数列是公差为的等差数列．在的每相邻两项之间*入这两项的算术平均数，得到新数列，这样的*作叫做该数列的1次“...

问题详情：

已知数列是公差为的等差数列．在的每相邻两项之间*入这两项的算术

平均数，得到新数列，这样的*作叫做该数列的1次“”扩展．连续次“”

扩展，得到新数列．例如：数列1，2，3第1次“”扩展后得到数列1，，

2，，3；第2次“”扩展后得到数列1，，，，2，，，，3．

（1）求*：为等差数列，并求其公差；

（2）已知等差数列共有项，且．若的所有项的和为，求使成立的的取值*．

【回答】

（1）*：① 当时，与的算术平均数为，

则为常数，

所以当时，数列为等差数列，且公差．    …… 2分

          ② 假设当时，数列为等差数列，且公差，

             则当时，

数列中相邻两项与的算术平均数为，

由，

知数列中任意相邻两项的差为常数，

所以当时，数列为等差数列，且公差．

由①②可知，为等差数列，且公差．            …… 5分

（2）解：（方法一）由已知可知，设数列的项数为，

则，且，

所以，

所以，即．

所以

．                                 …… 7分

则．

令，

则．

由可知，，，

所以，所以在上单调递增．

又因为，

所以使成立的的*为．  …… 10分

（方法二）

同上可得，

令，

则

，

则单调递增，以下同上．                               …… 10分

知识点：数列

题型：解答题