已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a...

问题详情：

已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2.

(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；

(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有an＜an＋1恒成立，求*：数列{an}是等差数列；

(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得am＝an.求当d1最大时，数列{an}的通项公式．

【回答】

 (1) 解：由题意，得a1＝1，a2＝2，a3＝a1＋d1＝1＋d1，a4＝a2＋d2＝2＋d2，a5＝a3＋d1＝1＋2d1.(2分)

因为S5＝16，a4＝a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝7＋3d1＋d2＝16，2＋d2＝1＋2d1.所以d1＝2，d2＝3，(4分)

所以a10＝2＋4d2＝14.(5分)

(2) *：当n为偶数时，因为an＜an＋1恒成立，

即2＋d2＜1＋d1，(d2－d1)＋1－d2＜0恒成立，所以d2－d1≤0且d2＞1.(7分)

当n为奇数时，因为an＜an＋1恒成立，

即1＋d2，(1－n)(d1－d2)＋2＞0恒成立，所以d1－d2≤0，于是有d1＝d2.(9分)

因为S15＝15a8，所以8＋d1＋14＋d2＝30＋45d2，

所以d1＝d2＝2，an＝n，所以数列{an}是等差数列．(11分)

(3) 解：若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得am＝an，

由题意得，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m为奇数，n为偶数．

因为am＝an，所以1＋d1＝2＋d2.(13分)

因为d1＝3d2，所以d1＝.

因为m为奇数，n为偶数，所以3m－n－1的最小正值为2，此时d1＝3，d2＝1.(15分)

所以数列{an}的通项公式为an＝

知识点：数列

题型：解答题