如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二...

问题详情：

如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，

∴B点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，

∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；

（2）设M（t，0），

易得直线OA的解析式为y=x，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，

解方程组得，则N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM

=•4•t﹣•t•t

=﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；

（3）设Q（m，m2﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴当=时，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；

解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；

∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；

综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的*质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形*质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

知识点：各地中考

题型：综合题