如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3O...

问题详情：

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；

（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．

【回答】

解：（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），

设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣），

把C（0，﹣3）代入得到a=，

∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．

（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC==，

∴∠OAC=60°，

∵AD平分∠OAC，

∴∠OAD=30°，

∴OD=OA•tan30°=1，

∴D（0，﹣1），

∴直线AD的解析式为y=x﹣1，

由题意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），

∵FH=PH，

∴1﹣m=m﹣1﹣（m2+m﹣3）

解得m=﹣或（舍弃），

∴当FH=HP时，m的值为﹣．

（3）如图，∵PF是对称轴，

∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），

∵AH⊥AE，

∴∠EAO=60°，

∴EO=OA=3，

∴E（0，3），

∵C（0，﹣3），

∴HC==2，AH=2FH=4，

∴QH=CH=1，

在HA上取一点K，使得HK=，此时K（﹣，﹣），

∵HQ2=1，HK•HA=1，

∴HQ2=HK•HA，可得△QHK∽△AHQ，

∴==，

∴KQ=AQ，

∴AQ+QE=KQ+EQ，

∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值==．

知识点：各地中考

题型：解答题