(1)如图1,点为线段外一动点,且,,填空:当点位于
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(1)如图1,点为线段外一动点,且,,填空:当点位于__________时,线段的长取到最大值__________,且最大值为;(用含、的式子表示).
(2)如图2,若点为线段外一动点,且,,分别以,为边,作等边和等边,连接,.
①图中与线段相等的线段是线段__________,并说明理由;
②直接写出线段长的最大值为__________.
(3)如图3,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点为线段外一动点,且,,,请直接写出线段长的最大值为__________,及此时点的坐标为__________.(提示:等腰直角三角形的三边长、、满足)
【回答】
(1)CB的延长线上;a+b;(2)①CD=BE,*见解析;②9;(3); 或.
【解析】
(1) 根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论; .
(2) ①根据等边三角形的*质得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形的*质得到CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1) 中的结论即可得到结果;
(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的*质得到PN=PA=4, BN=AM.根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为如图2.过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的*质即可得到结论.
【详解】
解: (1) ∵点A为线段BC外一动点,且BC=a, AB=b,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b.
故*为: CB的延长线上,a+b;
(2) ①CD=BE,
理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
∴∠CAD=∠EAB,
在△CAD与△EAB中,
∴△CAD≌△EAB (SAS) ,
∴CD=BE.
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,
由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,
∴最大值为BD+BC=AB+BC=9;
故*为:CD=BE,9.
(3)如图1:
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形。
∴PN=PA=2,BN=AM, .
∵A的坐标为(4. 0),点B的坐标为(10, 0) ,
∴OA=4,OB=10,
∴AB=6.
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值=AB+AN,
∵
∴最大值为:
如图2.
过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴ ,
∴
∴ .
如图3中,
根据对称*可知当点P在第四象限时,时,也满足条件.
综上所述,满足条件的点P坐标 或 ,AM的最大值为.
故*为:, 或
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和*质,等腰直角三角形的*质,最大值问题,旋转的*质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
知识点:等腰三角形
题型:解答题
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