（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位...

问题详情：

（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中*影部分）的面积；

【实际运用】：

（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．若PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的大小；

【拓展延伸】：

（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则△APC的面积是　　（直接填*）

【回答】

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时*影部分面积=扇形BAC的面积﹣扇形BPP'的面积，根据旋转的*质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出*影部分的面积．

（2）连结PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的*质可得PP′=4，∠BP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P=90°，然后计算即可得解；

（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积﹣△APB与△APC的面积的和计算即可得解．

【解答】解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB，

S*影=S扇形BAC﹣S扇形BPP′=（a2﹣b2）；

（2）如图2，连结PP′．

∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，

∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′=90°，

∴BP=BP′，∠APB=∠CP′B，AP=CP′=2，

∴△PBP′是等腰直角三角形，

∴PP′=PB=4，∠BP′P=45°．

在△CPP′中，∵PP′=4，CP′=2，PC=6，

∴PP′2+CP′2=PC2，

∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P=90°，

∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°；

（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC，连结PP1，

∴△APB≌△AP1C，

∴AP=AP1，∠PAP1=60°，CP1=BP=4，

∴△PAP1是等边三角形，

∴PP1=AP=3，

∵CP=5，CP1=4，PP1=3，

∴PP12+CP12=CP2，

∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P=90°，

∴S△APP1=×3×=，S△PP1C=×3×4=6，

∴S四边形APCP1=S△APP1+S△PP1C=+6；

∵△APB≌△AP1C，

∴S△ABP+S△APC=S四边形APCP1=+6；

如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和=×4×+×3×4=4+6，

△APC和△BPC的面积的和=×5×+×3×4=+6，

∴△ABC的面积=（+6+4+6++6）=+9，

∴△APC的面积=△ABC的面积﹣△APB与△BPC的面积的和=（+9）﹣（4+6）=+3．

故*为+3．

【点评】本题考查了旋转的*质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与*质，三角形的面积，其中（3）较为复杂，求出△ABC的面积是解题的关键．

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题