已知正方形ABCD，点M边AB的中点．（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG...

问题详情：

已知正方形ABCD，点M边AB的中点．

（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．

①求*：BE=CF；

②求*：BE2=BC•CE．

（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．

【回答】

【考点】SO：相似形综合题．.

【分析】（1）①由正方形的*质知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，结合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，*△ABE≌△BCF可得；

②由RtABG斜边AB中线知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，结合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，从而*△CGE∽△CBG得CG2=BC•CE，由BE=CF=CG可得*；

（2）延长AE、DC交于点N，*△CEN∽△BEA得BE•CN=AB•CE，由AB=BC、BE2=BC•CE知CN=BE，再由==且AM=MB得FC=CN=BE，设正方形的边长为1、BE=x，根据BE2=BC•CE求得BE的长，最后由tan∠CBF==可得*．

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，

∴∠ABG+∠CBF=90°，

∵∠AGB=90°，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠BAG=∠CBF，

∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，

∴MG=MA=MB，

∴∠GAM=∠AGM，

又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，

∴∠CGE=∠CBG，

又∠ECG=∠GCB，

∴△CGE∽△CBG，

∴=，即CG2=BC•CE，

由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，

由①知BE=CF，

∴BE=CG，

∴BE2=BC•CE；

（2）延长AE、DC交于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠N=∠EAB，

又∵∠CEN=∠BEA，

∴△CEN∽△BEA，

∴=，即BE•CN=AB•CE，

∵AB=BC，BE2=BC•CE，

∴CN=BE，

∵AB∥DN，

∴==，

∵AM=MB，

∴FC=CN=BE，

不妨设正方形的边长为1，BE=x，

由BE2=BC•CE可得x2=1•（1﹣x），

解得：x1=，x2=（舍），

∴=，

则tan∠CBF===．

【点评】本题主要考查相似形的综合问题，熟练掌握正方形与直角三角形的*质、全等三角形的判定与*质、相似三角形的判定与*质是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：综合题