已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点...

问题详情：

已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求*：BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．

【回答】

【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的*质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可*出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的*质即可*出BE=AF；

（2）连接AD，根据等腰三角形的*质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可*出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的*质即可得出BE=AF．

【解答】（1）*：连接AD，如图①所示．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．

∵点D为BC的中点，

∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）BE=AF，*如下：

连接AD，如图②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与*质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA*出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理ASA*出△EDB≌△FDA．

知识点：各地中考

题型：解答题