如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是菱形，，，且交于点，是上任意一点．（1）求*：；（2）若为的中点，且二面角的...

问题详情：

如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是菱形，，，且交于点，是上任意一点．

（1）求*：；

（2）若为的中点，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．

【回答】

解：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，

因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．          （4分）

（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，

所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，                        （5分）

设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），

E（0，0，），P（0，﹣，t）．

设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），

则 ，令，得，

平面PBD的法向量（1，0，0），

因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以 ，

所以或（舍），                             （9分）

则

∴，∴EC与平面PAB所成角的正弦值为．

（12分）

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题