如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,∥,,平面⊥底面,为的中点,是棱上的点,,,.(Ⅰ)求*:平面⊥平面;(Ⅱ)...
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如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,∥,,平面⊥底面,为的中点,是棱上的点,,,.
(Ⅰ)求*:平面⊥平面;
(Ⅱ)若满足,求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)若二面角大小为60°,求的长 .
【回答】
(Ⅰ)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,
∴CD // BQ .
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ平面MQB,
∴平面MQB⊥平面PAD.
(Ⅱ)∵PA=PD,Q为AD的中点,
∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且
平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则,,,,
由 ,且,得
∵,
∴
∴
设异面直线AP与BM所成角为
则=
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面BQC的法向量为
由 ,且,得
又,
∴ 平面MBQ法向量为.
∵二面角M-BQ-C为30°, ∴,
∴ .∴
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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