如图①所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB的延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N...

问题详情：

如图①所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB的延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．

（1）求*：MD＝MN；

（2）若将上述条件中“M是AB的中点”改成“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图②所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出*；若不成立，请说明理由．

【回答】

（1）*：如图①所示，取AD的中点F，连接MF．

∵M是AB的中点，F是AD的中点，

∴，．

∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，

∵∠1＝45°，∴∠DFM＝135°．

∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°．

∴∠MBN＝135°，∴∠MBN＝∠DFM．

∵MN⊥DM，∴△DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°．

∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°．

∴∠NMB＝∠ADM．

∴△DFM≌△MBN．∴MD＝MN．

（2）MD＝MN仍成立．

*：如图②，在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF．

由（1）中*法可得DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，

∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN．

【解析】

试题分析：（1）*MD＝MN，可*它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中点F，构造△MDF；（2）可参照第（1）题的方法论*．

*：（1）如图①所示，取AD的中点F，连接MF．

∵M是AB的中点，F是AD的中点，

∴，．

∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，

∵∠1＝45°，∴∠DFM＝135°．

∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°．

∴∠MBN＝135°，∴∠MBN＝∠DFM．

∵MN⊥DM，∴△DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°．

∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°．

∴∠NMB＝∠ADM．

∴△DFM≌△MBN．∴MD＝MN．

（2）MD＝MN仍成立．

*：如图②，在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF．

由（1）中*法可得DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，

∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN．

【难度】困难

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题