在区间[0,1]上给定曲线y=x2,如图所示,试在此区间内确定点t的值,使图中的*影部分的面积S1与S2之和最...
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在区间[0,1]上给定曲线y=x2,如图所示,试在此区间内确定点t的值,使图中的*影部分的面积S1与S2之和最小.
【回答】
解 面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t围成的面积,
即S1=t·t2-ʃx2dx=t3.
面积S2等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,(1-t),
即S2=ʃx2dx-t2(1-t)=t3-t2+.
所以*影部分面积S为:
S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1),
由S′(t)=4t2-2t=4t(t-)=0,
得t=0,或t=.
由于当0<t<时,S′(t)<0;
当<t<1时,S′(t)>0,
所以S(t)在0<t<上单调递减,
在<t<1上单调递增.
所以当t=时,S最小,即图中*影部分的面积S1与S2之和最小.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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