如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求*...

问题详情：

如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．

（I）求*：EF∥平面ABCD；

（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．

【回答】

【考点】二面角的平面角及求法．

【专题】数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．

【分析】（I）根据线面平行的判定定理即可*EF∥平面ABCD；

（Ⅱ），建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）如图，过点E 作 EH⊥BC于H，连接HD，

∴EH=．

∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，

平面ABD∩平面BCE=BC，

∴EH⊥平面ABCD，

又∵FD⊥平面ABCD，FD=，

∴FD∥EH．FD=EH

∴四边形EHDF 为平行四边形．

∴EF∥HD

∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD

（Ⅱ）连接HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，

又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，

∴AH⊥BC，

分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz．

则 B（1，0，0），F（﹣2，，），E（0，0，），A（0，，0）

=（﹣3，，），=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），

设平面EBF 的法向量为=（x，y，z）．

由得

令z=1，得=（，2，1）．

设平面ABF的法向量为=（x，y，z）．

由得

令y=1，得=（，1，2）

cos＜，＞====

故二面角A﹣FB﹣E的余弦值是．

【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题