如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=...

问题详情：

如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.

(1)求*:EF⊥平面BCE;

(2)设线段CD的中点为P,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE?若存在,请指出点M的位置,并*你的结论;若不存在,请说明理由.

【回答】

解:法一　(1)取BE的中点G,连接AG,由题意知EF⊥BE.

由EA=AB知AG⊥BE,所以EF∥AG.

∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BC⊥AB,

∴BC⊥平面ABEF,

∴BC⊥AG.

又∵BC∩BE=B,

∴AG⊥平面BCE,

∴EF⊥平面BCE.

(2)当M为AE中点时有PM∥平面BCE.

取AB的中点N,连接PN、MN,

则MN∥BE,NP∥BC,

所以MN∥平面BCE,NP∥平面BCE.

又MN∩NP=N,所以平面PMN∥平面BCE,

又PM⊂平面PMN且PM⊄平面BCE,

∴PM∥平面BCE.

法二　(1)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.

又平面ABEF⊥平面ABCD,AE⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,

以A为坐标原点,建立直角坐标系Axyz.

设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).

因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,从而,F(0,-,).

所以=(0,-,-),

=(0,-1,1),=(1,0,0).

·=0+-=0,·=0.

所以EF⊥BE,EF⊥BC.

又BC∩BE=B,

所以EF⊥平面BCE.

(2)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

M(0,0,),P(1,,0).

从而=(-1,-,),

于是·=(-1,-,)·(0,-,-)=0,

所以PM⊥FE,

又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,

故PM∥平面BCE.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题