如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平...

问题详情：

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．

（Ⅰ）*：平面AEC丄平面AFC

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

【回答】

【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；

（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）连接BD，

设BD∩AC=G，

连接EG、EF、FG，

在菱形ABCD中，

不妨设BG=1，

由∠ABC=120°，

可得AG=GC=，

BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，

可知AE=EC，又AE⊥EC，

所以EG=，且EG⊥AC，

在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，

在直角三角形FDG中，可得FG=，

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF==，

从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，

（或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1，

可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG）

AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，

由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，

建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），

F（﹣1，0，），C（0，，0），

即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），

故cos＜，＞===﹣．

则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．

【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题