如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,DE是正三角形ABC的中位线.动点M,N...
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如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,DE是正三角形ABC的中位线.动点M,N分别从D、E出发,沿着*线DE与*线EB方向移动相同的路程,连结AM,DN交于P点.则下列结论:①ac=﹣3;②AM=DN;③无论M,N处何位置,∠APN的大小始终不变. 其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【回答】
D【考点】二次函数综合题.
【分析】首先*b=0,再根据OC=OB列出等式即可*①正确,由△ADM≌△DEN,AM=DN,∠M=∠N,再根据“8字型”*∠NPK=∠MEK即可解决问题.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,OC⊥AB,
∴AO=OB,∠ACO=∠BCO=30°,
∴OC是抛物线对称轴,
∴b=0,
∴抛物线解析式为y=ax2+c,
∴点B坐标(,0),
∵tan∠BCO==,
∴c=,
∴c2=,
∵c≠0,
∴ac=﹣,故①正确.
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE=AB=AC=AD,DE∥AB,
∴∠CDE=∠CAB=60°,∠CED=∠CBA=60°,
∴∠ADM=∠DEN=120°,
在△ADM和△DEN中,
,
∴△ADM≌△DEN,
∴AM=DN,∠M=∠N,故②正确.
设AM交EN于K,∵∠EKM=∠PKN,∴∠MEK+∠EKM+∠M=180°,∠KPN+∠PKN+∠N=180°,
∴∠MEK=∠NPK,
∵∠MEK=∠CED=60°,
∴∠NPK=60°,
∴∠APN=180°﹣∠NPK=120°,
∴∠APN的大小不变,故③正确.
故选D.
【点评】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和*质、三角形内角和定理、直角三角形中30度角*质等知识,解题的关键是(1)*OC=OB,(2)*△ADM≌△DEN,属于中考常考题型.
知识点:二次函数单元测试
题型:选择题
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