如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已...

问题详情：

如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【回答】

【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）＝450，解方程得x1＝5，x2＝45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；

（2）设AD＝xm，利用矩形面积得到S＝x（100﹣x），*得到S＝﹣（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的*质得S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的*质得S的最大值为50a﹣a2．

【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，

根据题意得x（100﹣2x）＝450，解得x1＝5，x2＝45，

当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；

当x＝45时，100﹣2x＝10，

答：AD的长为10m；

（2）设AD＝xm，

∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，

当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1250；

当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a﹣a2，

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，S的最大值为（50a﹣a2）m2．

【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何*质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

知识点：实际问题与一元一次方程

题型：解答题