如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(...
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问题详情:
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求*:BM=MN;
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
【回答】
(1)*见解析;(2)
【分析】
(1)在△CAD中,由中位线定理得到MN∥AD,且MN=AD,在Rt△ABC中,因为M是AC的中点,故BM=AC,即可得到结论;
(2)由∠BAD=60°且AC平分∠BAD,得到∠BAC=∠DAC=30°,由(1)知,BM=AC=AM=MC,得到∠BMC =60°.由平行线*质得到∠NMC=∠DAC=30°,故∠BMN=90°,得到,再由MN=BM=1,得到BN的长.
【详解】
(1)在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,∴MN∥AD,且MN=AD,在Rt△ABC中,∵M是AC的中点,∴BM=AC,又∵AC=AD,∴MN=BM;
(2)∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)知,BM=AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴,而由(1)知,MN=BM=AC=×2=1,∴BN=.
考点:三角形的中位线定理,勾股定理.
知识点:平行四边形
题型:解答题
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