設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)&...

問題詳情：

設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值範圍是(　　)

A.(-∞,-1)∪(0,1)               B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)          D.(0,1)∪(1,+∞)

【回答】

A.記函數g(x)=,

則g′(x)=,

因為當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,

故當x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減;

又因為函數f(x)(x∈R)是奇函數,故函數g(x)是偶函數,所以g(x)在(-∞,0)上單調遞增,

且g(-1)=g(1)=0.

當0<x<1時,g(x)>0,則f(x)>0;

當x<-1時,g(x)<0,則f(x)>0,

綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值範圍是(-∞,-1)∪(0,1).

知識點：導數及其應用

題型：選擇題