兩個三角板ABC,DEF,按如圖所示的位置擺放,點B與點D重合,邊AB與邊DE在同一條直線上(假設圖形中所有的...
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問題詳情:
兩個三角板ABC,DEF,按如圖所示的位置擺放,點B與點D重合,邊AB與邊DE在同一條直線上(假設圖形中所有的點,線都在同一平面內).其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.現固定三角板DEF,將三角板ABC沿*線DE方向平移,當點C落在邊EF上時停止運動.設三角板平移的距離為x(cm),兩個三角板重疊部分的面積為y(cm2).
(1)當點C落在邊EF上時,x= cm;
(2)求y關於x的函數解析式,並寫出自變量x的取值範圍;
(3)設邊BC的中點為點M,邊DF的中點為點N.直接寫出在三角板平移過程中,點M與點N之間距離的最小值.
【回答】
【考點】RB:幾何變換綜合題.
【分析】(1)根據鋭角三角函數,可得BG的長,根據線段的和差,可得GE的長,根據矩形的*質,可得*;
(2)分類討論:①當0≤t<6時,根據三角形的面積公式,可得*;②當6≤t<12時,③當12<t≤15時,根據面積的和差,可得*;
(3)根據點與直線上所有點的連線中垂線段最短,可得M在線段NG上,根據三角形的中位線,可得NG的長,根據鋭角三角函數,可得MG的長,根據線段的和差,可得*.
【解答】解:(1)如圖1所示:作CG⊥AB於G點.,
在Rt△ABC中,由AC=6,∠ABC=30,得
BC==6.
在Rt△BCG中,BG=BC•cos30°=9.
四邊形CGEH是矩形,
CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,
故*為:15;
(2)①當0≤x<6時,如圖2所示.,
∠GDB=60°,∠GBD=30°,DB=x,得
DG=x,BG=x,重疊部分的面積為y=DG•BG=×x×x=x2
②當6≤x<12時,如圖3所示.,
BD=x,DG=x,BG=x,BE=x﹣6,EH=(x﹣6).
重疊部分的面積為y=S△BDG﹣S△BEH=DG•BG﹣BE•EH,
即y=×x×x﹣(x﹣6)(x﹣6)
化簡,得y=﹣x2+2x﹣6;
③當12<x≤15時,如圖4所示.,
AC=6,BC=6,BD=x,BE=(x﹣6),EG=(x﹣6),
重疊部分的面積為y=S△ABC﹣S△BEG=AC•BC﹣BE•EG,
即y=×6×6﹣(x﹣6)(x﹣6),
化簡,得y=18﹣(x2﹣12x+36)=﹣x2+2x+12;
綜上所述:y=;
(3)如圖5所示作NG⊥DE於G點.,
點M在NG上時MN最短,
NG是△DEF的中位線,
NG=EF=.
MB=CB=3,∠B=30°,
MG=MB=,
MN最小=3﹣=.
【點評】本題考查了幾何變換綜合題,(1)利用了鋭角三角函數,矩形的*質;(2)利用面積的和差,分類討論時解題關鍵,以防遺漏;(3)利用了垂線段最短的*質,三角形的中位線定理,鋭角三角函數.
知識點:圖形的旋轉
題型:綜合題
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