如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上一點，且∠A=2∠DCB．E是BC邊上的一點，以EC為直徑的⊙...

問題詳情：

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上一點，且∠A=2∠DCB．E是BC邊上的一點，以EC為直徑的⊙O經過點D．

（1）求*：AB是⊙O的切線；

（2）若CD的弦心距為1，BE=EO，求BD的長．

【回答】

【解答】（1）*：連接OD，如圖1所示：

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∠DOB為△COD的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

又∵∠A=2∠DCB，

∴∠A=∠DOB，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴∠BDO=90°，

∴OD⊥AB，

又∵D在⊙O上，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解法一：

過點O作OM⊥CD於點M，如圖1，

∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，

∴∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∵∠DOB為△ODC的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

∴∠DCB=30°，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，

∴在Rt△BDO中，根據勾股定理得：BD=2；

解法二：

過點O作OM⊥CD於點M，連接DE，如圖2，

∵OM⊥CD，

∴CM=DM，又O為EC的中點，

∴OM為△DCE的中位線，且OM=1，

∴DE=2OM=2，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∵Rt△BDO中，OE=BE，

∴DE=BO，

∴BO=BE+OE=2OE=4，

∴OD=OE=2，

在Rt△BDO中，根據勾股定理得BD=2．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題