如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC的邊於G，F，E點．（1）求...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC的邊於G，F，E點．

（1）求*：F為BC邊的中點；

（2）判斷四邊形BDEF的形狀，並説明你的理由；

（3）若∠A=35°，求弧的度數．

【回答】

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）連接DF，如圖1，根據直角三角形斜邊上的中線*質得到BD=AD=CD，再利用圓周角定理得到∠DFC=90°，然後根據等腰三角形的*質可得BF=FC；

（2）與（1）一樣可得E為AC中點，則利用三角形中位線*質得DE=BC，DE∥BC，所以DE=CF，DE∥CF，於是可判斷四邊形BDEF是平行四邊形；

（2）連接OG，如圖2，先利用等腰三角形的*質由CD=AD得到∠DCA═∠A=35°，則利用三角形外角*質得∠ODG=70°，再根據等腰三角形的*質和三角形內角和定理得∠DOG=40°，然後根據圓心角的度數等於它所對弧的度數得到的度數．

【解答】（1）*：連接DF，如圖1，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點，

∴BD=AD=CD，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠DFC=90°，

∴BF=FC，

即F是BC的中點；

（2）解：四邊形BDEF為平行四邊形．理由如下：

與（1）一樣可得E為AC中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE=BC，DE∥BC，

而BF=CF，

∴DE=CF，DE∥CF，

∴四邊形BDEF是平行四邊形；

（2）解：連接OG，如圖2，

∵CD=AD，

∴∠DCA═∠A=35°，

∴∠ODG=∠A+∠DCA=70°，

∵OD=OG，

∴∠OGD=∠ODG=70°，

∴∠DOG=180°﹣2×70°=40°，

即的度數為40°．

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、等腰直角三角形的*質、直角三角形斜邊上的中線*質和平行四邊形的判定方法．充分利用三角形中位線的*質．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題