如圖，先有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折...

問題詳情：

如圖，先有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN摺疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P，點D落在G處，連接PC，交MN於點Q，連接CM．下列結論：

①CQ＝CD；

②四邊形CMPN是菱形；

③P，A重合時，MN＝2；

④△PQM的面積S的取值範圍是3≤S≤5．

其中正確的是　   　（把正確結論的序號都填上）．

【回答】

②③　

【分析】先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據翻折的*質可得CN＝NP，然後根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形*，判斷出②正確；假設CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，進而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不一定成立，判斷①錯誤；點P與點A重合時，設BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進而用勾股定理求得MN，判斷出③正確；當MN過D點時，求得四邊形CMPN的最小面積，進而得S的最小值，當P與A重合時，S的值最大，求得最大值便可．

【解答】解：如圖1，

∵PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC，

∵∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM，

∴PM＝PN，

∵NC＝NP，

∴PM＝CN，

∵MP∥CN，

∴四邊形CNPM是平行四邊形，

∵CN＝NP，

∴四邊形CNPM是菱形，故②正確；

∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，

∴∠MQC＝∠D＝90°，

∵CP＝CP，

若CQ＝CD，則Rt△CMQ≌△CMD，

∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不一定成立，

故①錯誤；

點P與點A重合時，如圖2，

設BN＝x，則AN＝NC＝8﹣x，

在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，

即42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，

∴，

∴，

∴MN＝2QN＝2．

故③正確；

當MN過點D時，如圖3，

此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S＝，

當P點與A點重合時，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S＝，

∴4≤S≤5，

故④錯誤．

故*為：②③．

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了摺疊問題與菱形的判定與*質、勾股定理的綜合應用，熟練掌握菱形的判定定理和*質定理、勾股定理是解本題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：填空題