在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接．（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线...

问题详情：

在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接．

（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；

（2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出*过程，若不成立，请说明理由．

（3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．

【回答】

（1）；（2）成立，*详见解析；（3）或．

【解析】

（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半作答，得出DO＝EO，根据等腰三角形的*质及三角形外角的*质得出，从而得出DOEO，问题得解；

（2）方法1:延长EB交AD于F，先* ,然后*,最后* 问题得以*；方法2:延长EO到M，使得OM＝OE，先*是等腰三角形，然后*OAMOBE，再*MADDCE,最后*MDE为等腰三角形问题得解．

（3）分BC在AC左侧时和BC在AC右侧两种情况，画出对应图形，求得，根据含30°角的直角三角形边之间的关系和勾股定理即可求得DE,再结合（2）可*OD⊥OE，OD=OE，根据等腰直角三角形三边关系可求得OD．

【详解】

（1）

理由：，

与是直角三角形，

是AB的中点，

  ，

 ，

，

，

 ， ，

 ，

在中， ，

，

故，OD＝OE．

（2）成立．

*法一：延长交于点，连接

和是等腰三角形，

∴四边形是矩形

是的中点

∵在中，是中点

，则

．

*法二：延长到点，使得，连接

是的中点

和是等腰三角形，

．

（3）如下图，当BC在AC左侧时，∠ACB=60°，

过E作EH⊥DC，与它的延长线交于H，连接DE，

∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，

∴,

∴，

∴在中，,,

∴,

在中,,

由（2）中的*法2可*得OD⊥OE，OD=OE，

∴为等腰直角三角形，

∴在中，；

如下图，当BC在AC右侧时，∠ACB=60°，

过E作EH⊥DC，与它交于H，连接DE，

∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，

∴,

∴，

∴在中，,,

∴,

在中,,

∴．

综上所述或．

【点睛】

本题是一道几何综合题，考查了图形的旋转变换，直角三角形的*质，三角形全等判定与与*质，矩形的判定与*质及勾股定理，三角函数等知识，属于中考压轴题．

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题