如图,在等腰直角三角形中,.点是的中点,以为边作正方形,连接.将正方形绕点顺时针旋转,旋转角为.(1)如图,在...
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如图,在等腰直角三角形中,.点是的中点,以为边作正方形,连接.将正方形绕点顺时针旋转,旋转角为.
(1)如图,在旋转过程中,
①判断与是否全等,并说明理由;
②当时,与交于点,求的长.
(2)如图,延长交直线于点.
①求*:;
②在旋转过程中,线段的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)①全等,*见解析;②;(2)①*见解析;②.
【解析】
(1)①由等腰直角三角形*质和正方形*质根据全等三角形判定定理(SAS)即可*;②过A点作AM⊥GD,垂足为M,交FE与N,利用等腰三角形三线合一*质构造直角三角形,由勾股定理求出AM的长,进而得出,再由求出结果;
(2)①根据全等三角形*质可得,再在和中由三角形内角和定理得出,从而*结论;②根据∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大时,即GD⊥AG时,进而可知CEF三点共线,F与P重合,求出此时CE长,继而可得CP最大值.
【详解】
解:(1)①全等,理由如下:
在等腰直角三角形中,AD=CD,,
在正方形中,GD=ED,,
又∵,,
∴
在和中,
,
∴(SAS);
②如解图2,过A点作AM⊥GD,垂足为M,交FE与N,
∵点是的中点,
∴在正方形中,DE=GD=GF=EF=2,
由①得,
∴,
又∵,
∴,
∵AM⊥GD,
∴,
又∵ ,
∴四边形GMNF是矩形,
∴,
在中,,
∴
∵,
∴
∴,
∴.
(2)①由①得,
∴,
又∵,
∴,
∴,即:;
②∵,
∴,
∴当最大时,PC最大,
∵∠DAC=45°,是定值,
∴最大时,最大,PC最大,
∵AD=4,GD=2,
∴当GD⊥AG,最大,如解图3,
此时,
又∵,,
∴F点与P点重合,
∴CEFP四点共线,
∴CP=CE+EF=AG+EF=,
∴线段得最大值为:.
【点睛】
本题考查了三角形的综合;涉及了全等三角形的判定与*质,正方形的*质,勾股定理,解直角三角形等知识,能够准确画出旋转后满足条件的两个图形,构造直角三角形求解是关键.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:综合题
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